凱利公式

Kelly Criterion
Kelly Criterion凱利準則凱利下注法

定義

由 Bell Labs 研究員 J. L. Kelly 1956 年從資訊理論推導出的下注比例公式 f* = (bp − q) ÷ b，給出長期對數報酬最大化的理論最適部位，但需搭配折扣係數才能套到金融市場。

詳細說明

凱利公式由 J. L. Kelly Jr. 在 1956 年於《Bell System Technical Journal》Vol. 35 No. 4, pp. 917–926 發表的「A New Interpretation of Information Rate」中推導，公式 f* = (bp − q) ÷ b：f* 為單筆下注佔本金的最適比例、b 為盈虧比（賺對時的報酬倍率）、p 為勝率、q = 1 − p 為敗率。Kelly 原始推導源自資訊理論的「最大長期增長率」（maximum expected log return），優化目標是 E[log(資金)] 而非 E[資金]。公式因此假設交易者要把時間拉很長、追求幾何平均報酬率最大化，而不是單期算術期望值最大化，這是後續所有應用與爭議的數學起點。

從賭場跨進金融市場的橋樑是 Edward O. Thorp。Thorp 在 1962 年於 Blaisdell Publishing Company（Random House 旗下子公司）出版的《Beat the Dealer》一書中，把凱利公式應用到 21 點 card-counting 策略，計算出在算牌優勢已知的條件下、每手該下多少籌碼才能讓資金長期幾何成長最快。Thorp 隨後於 1969 年 11 月與 Jay Regan 共同成立 Convertible Hedge Associates（CHA），1974 年更名為 Princeton-Newport Partners（PNP）；該實體 1987 年底遭 FBI 突襲、1988 年起 wind-down、1989 年完成清算正式結束，合計約 20 年，把同一套 Kelly 框架套到金融市場 derivatives 套利，被視為「Kelly applied to finance」之父。Thorp 1998 年自述其個人投資組合（含 PNP、Ridgeline Partners 及個人帳戶）28.5 年期間達約 20% 年化報酬，部分歸功於 Kelly 規模設計。

套到金融市場前需要先看清賭場與市場的四大差異。一、賭場勝率與賠率精確已知（21 點算牌後條件機率可推算），金融市場勝率與盈虧比只能從歷史回測樣本估計、未來分布未必相同。二、賭場結果獨立分布，金融市場具序列相關、波動率聚集、tail risk fatness、估計誤差會在連續部位上放大。三、賭場單局風險上限即下注金，金融市場下檔風險受跳空、漲跌停鎖死、流動性枯竭影響、實際虧損常超過理論預算。四、賭場時間有限，金融市場無限期、長 horizon 下完整 Kelly 路徑會帶來深度回撤。

完整凱利的最大回撤是散戶最容易忽略的心理門檻。即使勝率與盈虧比都被準確估計、沒有估計誤差，完整 Kelly 部位在足夠長的時間內最大回撤可達帳戶 60% 以上。這意味著一個 100 萬帳戶走 5 年，中途有極高機率看到帳戶縮水至 40 萬以下區間。MacLean、Thorp 與 Ziemba 2011 年編著《The Kelly Capital Growth Investment Criterion: Theory and Practice》（World Scientific）整理 Thorp 21 點與早期市場套利期間的自述及多篇學術論文，普遍指出真實採完整 Kelly 的路徑都會經歷此類深 drawdown；散戶帳戶心理上多半承受不住、會在 30% 至 40% 回撤時被迫停損出場，結果系統性低於 Kelly 理論預期報酬，這就是「完整 Kelly 看起來最賺、實際做不到」的紀律陷阱。

Paul Samuelson 1971 年於《Proceedings of the National Academy of Sciences》Vol. 68 No. 10, pp. 2493–2496 發表的「The "fallacy" of maximizing the geometric mean in long sequences of investing or gambling」直接批評 Kelly：long-run growth optimal 不等於 utility optimal，不同 utility function（CRRA、log、二次型）會推導不同最適下注比例，Kelly 隱含「log utility」假設未必符合一般投資人偏好。也因此業界共識採 fractional Kelly，下注比例打 0.25 至 0.5 折；William Poundstone 2005 年《Fortune's Formula》整理了 Thorp、Shannon、Pimco 等多個案例，散戶常見的 1% 至 2% baseline rule 即屬更保守的 fractional Kelly proxy，把估計誤差預留在安全邊際內。

計算公式

f* = (bp − q) ÷ b；其中 f* 為最適下注佔本金比例、b 為盈虧比（賺對時報酬倍率）、p 為勝率、q = 1 − p；實務採 fractional Kelly = f* × 折扣係數 0.25 至 0.5
原始公式假設 b 與 p 已知，金融市場兩者皆由回測樣本估計、誤差會在槓桿端放大成倍數回撤，因此散戶與專業交易者多打 0.25 至 0.5 折。完整 Kelly 的長期最大回撤可達 60% 以上，多數散戶心理上無法承受。

台股相關規定

  • 凱利公式在台灣屬交易紀律與資金管理範疇，對應 Tharp、Douglas 等交易心理學派的 fractional Kelly 折扣實務、無對應法規條號約束，與部位規模配置同屬資金管理工具。
  • 台股普通股每張 1,000 股，依凱利公式反推出的金額可能無法剛好等於整張倍數，剩餘部分走盤中零股（09:00–13:30 委託、09:10 起每 5 秒集合競價一次）填零頭，盤中零股可讓小資金做出小於 1 張的精細 Kelly 部位。
  • 台股一般上市櫃個股漲跌幅 ±10%、初次上市櫃普通股首 5 個交易日無漲跌幅限制，凱利公式中盈虧比 b 的估計須考量漲跌停制度造成的單日損益截尾，套用美股 backtest 結果於台股時尤需重新校準 b 的分布。
  • 台股信用交易部位的下檔風險須回到「證券商辦理有價證券買賣融資融券業務操作辦法」§53 第一項定義整戶擔保維持率公式、§54 第一項規範「整戶擔保維持率低於百分之一百三十者，證券商應即通知委託人」之 130% 通知補繳線，凱利公式所稱「下注金額」對應的真實風險敞口須以強制處分情境估算、不可單純套進場價減停損價。
  • 證交稅 0.3%（一般股票賣出）與牌告手續費 0.1425% 為單邊摩擦成本，凱利公式估算盈虧比 b 時須先扣除往返摩擦成本（雙向證交稅 + 雙向手續費）才能反映真實 b，沒扣摩擦的 backtest b 會高估 f*、放大部位至超出真實 Kelly 比例。

完整凱利 vs 1/2 凱利 vs 1/4 凱利 vs 1% 規則

下注比例理論依據長期最大回撤期望值適用對象
完整凱利 f* = (bp − q) ÷ b 全額Kelly 1956 數學最適長期增長率可達 60% 以上量化團隊、勝率盈虧比可精確估計、心理承受力強者
1/2 凱利 f* × 0.5Fractional Kelly 折扣、Thorp 實務經驗約 25% 至 30%專業交易者、有 5 年以上回測樣本者
1/4 凱利 f* × 0.25Fractional Kelly 折扣、保守版約 12% 至 15%半專業交易者、回測樣本有限者
1% 規則 baseline 單筆固定 1% 至 2% 帳戶總值Tharp、Douglas 心理學派、更保守的 Kelly proxy約 5% 至 10%（連續 5 至 10 次失敗）一般散戶、勝率盈虧比估計誤差較大者

常見誤解

✗ 凱利公式算出 f* = 25%、那我就單筆下 25% 帳戶總值，公式說了算。
完整凱利只在勝率 p 與盈虧比 b 精確已知時才理論最適。金融市場 p 與 b 都從回測樣本估出來、有估計誤差，估計誤差會在槓桿端放大成倍數回撤。即使 p 與 b 沒估錯，完整 Kelly 的長期最大回撤可達 60% 以上，多數散戶心理上承受不住、會在 30% 至 40% 回撤時破紀律停損出場。實務上專業交易者幾乎都採 1/4 至 1/2 凱利的折扣版本（fractional Kelly），把估計誤差與心理承受力一起預留在安全邊際內。
✗ 凱利公式源自 21 點賭場、跟股票市場沒關係，看看就好。
凱利公式 1956 年由 J. L. Kelly Jr. 從資訊理論推導，1962 年 Edward Thorp 在《Beat the Dealer》把它應用到 21 點 card-counting，1969 年 11 月 Thorp 與 Jay Regan 共同成立 Convertible Hedge Associates、1974 年更名為 Princeton-Newport Partners，把同一框架套到金融市場 derivatives 套利、1987 年底遭 FBI 突襲、1988 年起 wind-down、1989 年完成清算正式結束、合計約 20 年；Thorp 1998 年自述其個人投資組合 28.5 年期間達約 20% 年化報酬，是 Kelly 從資訊理論跨入投資領域的橋樑。但賭場與金融市場有 4 大差異（勝率已知 vs 估計、結果獨立 vs 序列相關、下檔風險清晰 vs 跳空風險、時間有限 vs 無限期），直接照搬 Kelly 不行、需要 fractional Kelly 折扣與摩擦成本扣除。
✗ 凱利公式是數學最佳解，學術上沒有爭議。
Paul Samuelson 1971 年於 PNAS 發表「The fallacy of maximizing the geometric mean in long sequences of investing or gambling」直接批評 Kelly：long-run growth optimal 不等於 utility optimal，不同 utility function（CRRA、log、二次型）會推導不同最適下注比例，Kelly 隱含 log utility 假設未必符合一般投資人偏好。Markowitz mean-variance framework 是與 Kelly 平行的另一派。凱利在學術圈一直有爭議；William Poundstone 2005 年《Fortune's Formula》書中整理了 Kelly vs Samuelson 兩派長達數十年的論戰。

使用情境

投資夥伴 LINE 群
學弟
學姐，我回測我的策略勝率 60%、盈虧比 2，凱利公式算出來 f* = 40%，那我單筆是不是該下帳戶 40%？
我
別急著按下去喔～你那 60% 勝率跟盈虧比 2 是怎麼算出來的呀？回測樣本幾筆呀？
學弟
近兩年 80 筆訊號回測出來的。
我
80 筆樣本要估出長期勝率，信賴區間蠻寬的呢。實單勝率可能落在 50% 到 70% 之間都有可能，盈虧比也有估計誤差，誤差在 40% 部位上會被放大成倍數回撤喔。
學弟
那打折一下，下 20% 好不好？
我
專業交易者通常打 0.25 至 0.5 折，1/2 凱利就是 20%、1/4 凱利就是 10%。但完整 Kelly 的長期最大回撤可達 60% 以上、1/2 凱利也有 25% 至 30%，你心理上承受得住嗎？
學弟
帳戶縮水 30% 我應該會睡不著耶⋯
我
那就再保守一點啦，從 1% 規則 baseline 起步、跑半年再看實單勝率跟回測差多少。Tharp 派的 1% 至 2% 規則就是更保守的 fractional Kelly proxy 呢，把估計誤差跟心理承受力一起預留在安全邊際內。

常見問答

法規依據與來源

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更新於 2026-06-12
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